北京市数学特级教师/正高级教师钱守旺
教材简析：
“植树问题”通常是指沿着一定的路线，这条路线的总长度被树平均分成若干段，由于路线不同、植树要求不同，路线被分成的段数和植树棵数之间的关系就不同。现实生活中类似的问题还有很多，如安装路灯、花坛摆花、站队中的方阵、锯木头、走楼梯，等等。
本册教材在数学广角中安排植树问题一节，主要是通过生活中的简单事例，让学生初步体会解决植树问题的思想方法，让学生从中发现一些规律，抽取出其中的数学模型，然后再运用发现的规律解决一些生活中相关的实际问题。
教学时，要培养学生在解决实际问题中探索规律，找出解决问题的有效方法的能力，初步培养学生抽取数学模型的能力。同时要注意激发学生对数学的好奇心和求知欲，增强学生学习数学的兴趣。考虑到学生的接受能力和本节课的教学要求，本节课不要对例题进行过多的变式，也不要无限制地提高问题难度。
教学过程：
一、创设情境，揭示课题
1、教师出示几幅有关北方沙尘暴的图片，引出植树的话题。
师：在我国的北方，冬天经常会出现沙尘天气，你们听说过吗？
生：听说过！
师：请同学们看一段录像。（教师播放CCTV新闻联播节目关于北京沙尘暴的报道。）
生：（静静地观看）
师：沙尘暴给人们的生产和生活都带来了非常大的危害。你们看，这是几张沙尘暴的图片新闻。（教师依次播放：沙尘暴中头戴塑料袋行进的人群、沙尘暴中隐隐约约骑自行车的人、沙尘暴笼罩下的灰蒙蒙的城市、被沙尘暴袭击的表情痛苦的骑自行车的人群……）
生：（被图片中的内容所吸引）
师：同学们，你们知道吗？沙尘天气实际上是大自然对人类的一种惩罚。由于我们人类过去滥砍滥伐，破坏自然资源和生态环境，才造成今天的恶果。
师：要治理沙尘天气，你们说最好的办法是什么？
生：（异口同声）植树造林！
师：（教师一边出示国家领导人、小学生植树造林的场面一边说）对！植树造林。你们看，上至国家领导人，下至小学生，都积极投身到植树造林的活动中。看到这一排排整齐的小树，如果我们从数学的角度来分析，这里面还有很多有趣的数学问题。这节课我们就来研究——植树中的数学问题。（板书课题：植树中的数学问题）
二、引导探究，发现规律
1、教师结合课件演示，创设下面的情境：
四一班分成三个小组去植树。
1、第一小组的同学们在全长米的小路的一边植树，每隔5米栽一棵（两端要栽）。一共需要多少棵树苗？
2、第二小组的同学们沿教学楼的一侧植树，每隔6米种一棵，一共种了36棵。从第1棵到最后一棵的距离有多远？
3、第三小组的同学们在附近的动物园里植树。大象馆和猩猩馆相距60米。同学们要在两馆间的小路两旁栽树，相邻两棵树之间的距离是3米。一共要栽几棵树？
师：人大附小四一班的同学们分成三个小组去植树（大屏幕上出现“第一小组”“第二小组”“第三小组”的链接文字）。让我们一起来看一看第一小组是怎样植树的。
教师在大屏幕上点击链接文字，出现下面的题目：
第一小组的同学们在全长米的小路的一边植树，每隔5米栽一棵（两端要栽）。一共需要多少棵树苗？
师：好，谁来把题目读一读。
生：（读题目）
师：这道题该怎样解答呢，同学们先自己试一试，如果独立思考有困难，也可以两个人小声议论一下。
生：（大部分学生独立思考，有的画图，有的列式，部分学生两三个人在一起小声议论。）
大约2分钟后，教师请学生汇报自己的思考过程。学生出现了下三两种解法：
生1：0÷5=（棵）
生2：0÷5=（棵）+2=（棵）
生3：0÷5=（棵）+1=（棵）
教师请这两位同学说一说自己的思路，全班同学发表自己的看法。大部分同学同意生2的解法。
师：这道题到底该怎样思考呢？我们一起来看一看。
教师在大屏幕上进行以下演示：
演示后，引导学生思考：在一段直路上植树，如果两端都种，植树的棵数与间隔数之间有什么关系？
结果学生们很快发现：植树的棵数比间隔数多1。
师：刚才同学们的发现如果用一个关系式来表示应该怎样写？
生1：植树的棵数＝间隔数+1。
生2：间隔数＝植树的棵数－1。
师：根据刚才的规律，大家想一想，刚才三位同学的解法中，谁的解法是正确的？
生：生3的方法是正确的。
师：刚才，我们通过简单的画图，发现了在一条直路上植树，两端都种时植树的棵数与间隔数的关系，应用这个规律解决了第一小组植树的问题。以后，再遇到“两端要种”求棵树，知道该怎么做了吗？
生：知道了。
师：第一小组的问题解决了，接下来，我们看一看第二小组的同学们是怎样植树的。
教师点击链接文字，出现下面的题目：
2、第二小组的同学们沿教学楼的一侧植树，每隔6米种一棵，一共种了36棵。从第1棵到最后一棵的距离有多远？
学生读题后，先独立思考，然后汇报。
生1：6×36＝（米）。
生2：6×（36－1）＝（米）
全班同学就上面的两种解法发表自己的意见，通过交流，同学们一致认为生2的方法是正确的。理由是：36棵树之间有35个间隔，每两棵树之间的距离是6米，求从第1棵到最后一棵的距离有多远，也就是求35个6是多少，所以用35乘6。
师：接下来，我们看一看第三小组的同学是怎样植树的。
生1：60÷3+1＝21（棵）。
生2：60÷3+1＝21（棵），21×2＝42（棵）
生3：60÷3＝20（棵）
生4：60÷3＝20（棵），20×2＝40（棵）
生5：60÷3－1＝19（棵），19×2＝38（棵）
师：这么多种解法，到底谁的是正确的？大家讨论一下。讨论的时候你们一定要把题目认真读一读，想一想，这次植树的情况和刚才还一样吗？“小路两旁”是什么意思？
生：（展开热烈的讨论）
学生讨论后，以小组为单位发表意见。很快明确生1、生2、生3的解法肯定是不正确的。因为大象馆和猩猩馆之间种树时，两端是不能种的。种树的棵数和间隔数之间肯定不是加1的关系。因为是在小路的两旁栽树，求出一边植树的棵数后还要乘上2。
师：生4和生5的解法究竟谁的有道理呢？同学们自己画画图，看果在一段直路上植树，如果两端都不种，植树的棵数和间隔数之间有什么关系。
生：（自己画图思考）
很快，学生们便发现：在一段直路上植树，如果两端都不种，植树的棵数比间隔数少1。由此确认生5的方法是正确的。
师：看来，我们在解决植树问题时，一定要具体问题具体分析。
三、回归生活，实际应用
师：学完了植树问题后，老师布置同学们回家以后找一找，哪里还有类似的问题。第二天汇报时，同学们找到了许多有趣的的问题。
在大屏幕上出示几个问题的关键词：
街道上；锯木头；钟表上；公共汽车站；滑冰场；电线杆；上楼梯。
教师提问：你们想先来研究哪个问题？
（学生说一个教师就点击相应的链接出示具体题目。）
生：老师，我想研究钟表上的问题。
广场上的大钟5时敲响5下，8秒钟敲完。12时敲响12下，需要多长时间？
读题理解题意后，学生自己思考，然后汇报。
8÷（5－1）＝2（秒），12－1＝11（个），2×11＝22（秒）
生：老师，我想研究滑冰场上的问题。
圆形滑冰场的一周全长是米。如果沿着这一圈每隔15米安装一盏灯，一共需要装几盏灯？
读题理解题意后，学生自己思考，然后汇报。教师展示学生的不同解法：
生1：÷15+1＝11（盏）
生2：÷15－1＝9（盏）
生3：÷15＝10（盏）
教师通过课件演示让学生发现在封闭图形上植树时植树的棵数与间隔数之间的关系。
通过上面的演示，学生很快发现：植树的棵数＝间隔数。从而明确生3的解法是正确的。
师：在封闭图形上植树和在直线上植树有没有内在的联系呢？
生：老师，有内在联系。把直线上的点首尾相连就成了一个封闭图形。原来是间隔数加1，现在首尾相连变成一棵了，所以就正好等于间隔数。
师：你真聪明！就是这个道理。我请6位同学到台上来，我们演示一下。教师请学生先手拉手站成一排，让学生观察植树的棵数与间隔数之间的关系。再让学生围成一个圆圈，首尾的两个同学站到同一个点上，再次观察植树的棵数与间隔数之间的关系。
师：你们还想研究什么问题？
生：我想研究上楼梯的问题。
小明上楼，从第一层走到第三层要走48级台阶，如果从第一层走到第六层需要走多少级台阶？
结果学生出现以下几种解法：
生1：48÷3×6＝96（级）
生2：3－1＝2，6－1＝5，48÷2×5＝（级）
生3：6÷3＝2，48×2＝96（级）
教师组织学生讨论，提出以下问题：从第一层走到第三层要爬几次楼梯？（2次）从第一层走到第六层要爬几次楼梯？（5次）为什么生3的想法是错误的？
通过师生之间的相互交流，最后明确生2的解法是正确的。
这时生3举手说：“老师，我这个方法可以用5÷2＝2.5，再用48×2.5就行了。”
师：很会思考，这样一改就正确了。不过我们小数乘法还没有学过。你这种思路很独特，值得表扬！
生：我想研究锯木头的问题。
一根木头长10米，要把它平均分成5段。每锯下一段需要8分钟，锯完一共要花多少分钟？
此题学生出现了两种解法：
生1：8×5＝40（分）
生2：8×（5－1）＝32（分）
教师请学生说自己的思路，结合实际演示使学生明确：把一根木头平均分成5段，只需要锯4下。每锯下一段需要8分钟，那么锯4下就需要8×4＝32（分钟）。
生：我想研究电线杆的问题。
从学校到电影院一共有16根高压电线杆，相邻两根的距离平均是米。学校到电影院大约有多远？
此题学生很快得到答案。
师：最后还剩下什么问题我们还没有研究？
生：公共汽车站的问题。
5路公共汽车行驶路线全长12千米，相邻两站的距离是1千米。一共有几个车站？
学生独立解答，然后指定一名学生说一说自己是怎样想的。此题学生解题的正确率达到％。
四、适当变式，拓展延伸
在学生基本掌握了此类问题的解题思路后，教师适当进行题目的变换，给学生布置以下两题，请学生课后继续思考。
1、你当参谋。（P第5题）
笔直的跑道一旁插着51面小旗，它们的间隔是2米。现在要改为只插26面小旗，间隔应改为多少米？
2、请你当导演。（补运动员入场题目）
实验小学有人参加县运动会入场式，他们每5人为一行，前后每行间隔为2米。问这列队伍从排头到排尾相隔多少米？
五、反思回顾，小结提高
通过这节课的学习你有什么收获？你对自己的表现满意吗？还有什么不明白的问题？
学生谈收获，进行自我评价，提出自己还不懂或想继续研究的问题。
教后反思
“实践与综合应用”领域是《标准》的一个特色。这个领域反映了数学课程与教学改革的要求，也提供了学生进行实践性、探索性和研究性学习的课程渠道。
这部分内容是分段安排的：
第一学段（1－3年级）：数与代数、空间与图形、统计与概率、实践活动。
第二学段（4－6年级）：数与代数、空间与图形、统计与概率、综合应用。
第三学段（7－9年级）：数与代数、空间与图形、统计与概率、课题学习。
第一学段以“实践活动”为主题，强调实践活动，强调数学与生活的关系；第二学段以“综合应用”为主题，在继续强调实践与经验的基础上，增加了综合应用的要求。
这是一类以问题为载体，学生主动参与的学习活动，是帮助学生积累数学活动经验的重要途径。针对问题情境，学生借助所学的知识和生活经验，独立思考或与他人合作，经历发现问题和提出问题、分析问题和解决问题的全过程，感悟数学各部分内容之间及其他学科的联系，激发学生学习数学的兴趣，加深学生对所学数学内容的理解。这种类型的课程对于培养学生的抽象能力和逻辑思维能力、对于培养学生的创新意识和应用能力是有益处的，还有利于培养学生的合作精神。
实践与综合应用的教学目标如下：
1、在知识与技能方面，强调对“数与代数”、“空间与图形”、“统计与概率”等知识领域的综合运用和整体把握。
2、在数学思考方面，强调经历探索过程，发展思维能力。
3、在解决问题方面，强调经历提出、理解、探索和解决问题的过程，形成解决问题的一般策略，发展应用意识和实践能力。
4、在情感与态度方面，强调体会数学与自然和人类社会的密切联系，感受数学在现实生活中的普遍存在和广泛应用，树立正确的数学价值观。
“实践与综合应用”有其自身的一些特点，主要表现在：
1、学习内容开放
“实践与综合应用”不像“数与代数”、“空间与图形”、“统计与概率”这三大领域的学习内容都有自己固有的逻辑系统和预选的“知识点”，“实践与综合应用”素材取自于学生的生活，材料是学生们所熟悉、感兴趣的，凡是可以引发学生数学的思考或能够使学生运用数学知识的问题，都可以作为实践与综合应用的学习内容。
2、密切联系实际
“实践与综合应用”的一个重要目标，是让学生体会数学与现实世界的联系，树立正确的数学观。根据学生的年龄特征和心智发展水平，第一、二学段主要以密切数学与生活的联系为主，拉近数学与人和自然的距离，密切数学知识与学生生活之间的联系。
3、综合应用知识
加强数学各部分内容间的联系，发展学生的综合应用能力，是“实践与综合应用”学习活动的另一个重要目标，“综合应用”有两方面的含义：第一，数学各部分知识与表达方式之间的综合；第二，数学学科与其他学科的综合。“实践与综合应用”是在“数与代数”、“空间与图形”、“统计与概率”基础上设立的，因此具备了综合应用的基本条件。随着学生年龄的不断增长，知识的逐渐增加，生活经验的日渐丰富，小学生在数学方面的实践与综合应用必将逐渐深入，应用数学知识解决实际问题的能力必将逐步提高。
4、探索成为主线
“实践与综合应用”本质上是一种解决问题的活动。综合运用数学知识解决问题是发展学生数学思维的重要途径。在解决问题过程中，需要学生独立思考，自主探究，而不是机械的、程序化的、模仿性的。教师应充分尊重学生自主性，发展学生的创新思维，同时，还要使学生在活动中体验与他人合作，并在交流中密切同学之间的关系。每一次数学实践活动都要强调完成任务的具体实施方案和步骤要由学生自己设计，最后成果的呈现方式也由学生自己决定。
5、活动结论开放
“实践与综合应用”学习活动不仅活动过程应该是带有个人风格的、因人而异的、各有千秋的，就是活动的结果，对同样的问题来说，既不要求一致，也不要求大同，更不要求“最优”，甚至允许“大异”，“舍简就繁”也无所谓。数学活动的结果，可以是知识性的，也可以是技能性，还可以是情感、动机上的。
这种类型的课程对教师是一种挑战，教师应努力把握住问题的本质，能够引导学生思考，同时，教师又应努力帮助学生整理清楚自己的思路，指导学生以不同的形式展示自己的成果或报告自己的工作。
在第二学段段中，学生将通过数学活动了解数学与生活的广泛联系，学会综合运用所学的知识和方法解决简单的实际问题，加深对所学知识的理解，获得运用数学解决问题的思考方法,并能与他人进行合作交流。
“植树问题”是人教版新课程标准实验教材四年级下册“数学广角”的内容。《植树问题》安排在第二学段，主要通过本节课的学习让学生经历分析、思考、解决问题的全过程，体会植树问题这一重要的数学思想方法，向学生渗透复杂问题从简单入手的思想。本节课的教学，我在以下三各方面做了探索。
1、创造性地使用教材。
本节课，我把教材中一些零散的题目，通过有趣的情境把它们串起来，使学生学习起来不感觉枯燥、繁杂。除教材中提供的素材外，教师还适当补充了一些相关的题目，使本节课的学习更具挑战性，学生的解题思路也更加开阔。
2、选择正确的交流方式。
本节课，我充分相信学生的学习能力，每道题目出来后，总是给学生一段独立思考的时间，教师对小组合作的学习的运用也恰到好处，本节课的小组合作学习是建立在学生个体合作需要的基础上的。当学生独立思考有困难时，当学生的解题方法存在争议时，教师才组织小组合作学习。对于学生的不同解法，我不是给予简单的肯定或否定，而是请学生自己在全班同学面前叙述自己的解题思路，组织全班同学就这些解法发表自己的意见，把学生的问题，解题中出现的错误当成一种重要的教学资源加以利用。
3、注意数学思想方法的渗透。
笛卡尔说过：“数学是使人变聪明的一门科学”，而数学思想则是传导数学精神，形成科学世界观不可缺少的条件。数学思想方法反映着数学概念、原理及规律的联系和本质，是学生形成良好知识结构的纽带，是培养学生能力的桥梁。数学思想方法是数学知识不可分割的有机组成部分，小学数学教材中，蕴含了许多数学思想和方法，如极限思想、符号化思想、集合思想、转化、建模的思想以及猜想、验证的方法等。学生对数学的学习不单纯是知识的获得和反复的操练，贯穿始终的还有数学思想方法。如果说数学教材中的基础知识和基本技能是一条明线的话，那么蕴含在教材中的数学思想方法就是一条暗线。教师要注意数学思想方法的渗透，抓住教学内容中的有利因素，有意识地加以引导，使学生在潜移默化中掌握数学思想方法。
本节课的教学，我通过三个小组植树的问题和生活中的一些有趣的类似题目，使学生掌握了此类问题的解题模型，学会了化繁为简的思考方法。
